Fungsi, Domain, Kodomain, dan Range

Definisi Fungsi
Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. 

Domain, Kodomain, dan Range
Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.

contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }
Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".
Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :
{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.
Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.
Dari fungsi di atas maka :
Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }
Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }
Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Pada relasi dari himpunan P ke Q, himpunan P disebut Domain (daerah asal) himpunan Q disebut Kodomain (daerah kawan) dan semua anggota Q yang mendapat pasangan dari P disebut Range (derah hasil). 

Latihan Soal

1. Jika f(x) = 2x + 3 dan (f o g) = 2x² + 6x – 7, maka g(x) = …

 

 Penyelesaian :

(f o g)(x)     = 2x² + 6x – 7

    f(g(x))     =  2x² + 6x – 7

 2(g(x)) + 3 = 2x² + 6x – 7

2 (g(x))       =  2x² + 6x –10

jadi      g(x) = x² + 3x – 5 

2. Fungsi g: R → R ditentukan oleh g(x) = x² – 3x + 1 dan f: R → R sehingga (f o g)(x) = 2x² – 6x – 1 

maka f(x) = ….

 

Penyelesaian :

 

(f o g)(x)            = 2x² – 6x – 1

 f (g(x))             = 2x² – 6x – 1

 f ( x² – 3x + 1)  = 2x² – 6x – 1

                           = 2 ( x² – 3x + 1 ) - 3

Jadi       f (x)      = 2x - 3

3. Jika f(x) = x² + 3x dan g(x) = x – 12, maka nilai (f o g)(8) adalah ….

Penyelesaian :

 g(8) = 8 - 12 = - 4

jadi (f o g) (8) = f(g(8)) = f(-4) = (-4)² + 3(-4) = 16 - 12 = 4

4. Diketahui (f o g)(x) = x² + 3x + 4 dan g(x) = 4x – 5. Nilai dari f(3) adalah ….

Penyelesaian :

(f o g)(x)     = x² + 3x + 4

f (g(x))        =  x² + 3x + 4

Untuk    g(x)    = 3              maka  

           4x - 5   = 3

                   4x = 8

                    x = 2

Karena  f (g(x))  =  x² + 3x + 4   dan  untuk g(x) = 3 didapat x = 2

Sehingga :

f (3) =  2² + 3 . 2 + 4   =   4 + 6 + 4   =   14

5. Diketahui himpunan A={3,4,6,8,10} dan himpunan B={6,8,12,16,20,24,28}. Himpunan A merupakan setengah dari himpunan B. Tentukan domain, kodomain, dan range!!

Jawab :

Domain : Himpunan A={3,4,6,8,10}

Kodomain : Himpunan B={6,8,12,16,20,24,28}

Range : {6,8,12,16,20}

6. Jika himpunan A={Andi, Budi, Rizky, Sandy, Patrick}, himpunan B={Anastasya, Berta, Lusi, Karin, Meta, Rina, Sabrina, Patricia} dan relasi dari kedua himpunan tersebut adalah bedasarkan inisial huruf pertama dari nama, maka tentukanlah domain, kodomain, dan range!!

Jawab :

Domain : Himpunan A={Andi, Budi, Rizky, Sandy, Patrick}

Kodomain : Himpunan B={Anastasya, Berta, Lusi, Karin, Meta, Rina, Sabrina, Patricia,}

Range : {Anastasya, Berta, Rina, Sabrina, Patricia}

7. Diketahui himpunan B merupakan tiga kali dari himpunan A. Jika himpunan A={2,3,4,5,6,7} dan yang tak punya pasangan dari himpunan B adalah 30,33,35, tentukanlah himpunan B, domain, kodomain, dan range!!

Jawab :

Himpunan B=3xHimpunan A, dan yang tak punya pasangan adalah 30,33,35, maka Himpunan B={6,9,12,15,18,21,30,33,35}.

Domain : Himpunan A={2,3,4,5,6,7}

Kodomain : Himpunan B={6,9,12,15,18,21,30,33,35}

Range : {6,9,12,15,18,21}

Sumber : http://sabilaamalia.blogspot.com/

Relasi & Invert

Sebelum membahas tentang relasi, kita ingatkan kembali tentang pergandaan himpunan yang di definisikan sebagai : AxB= {(x,y) /xAyB}

Jadi himpunan A xB mempunyai anggota semua pasangan terurut (x,y) dengan x sebagai urutan pertama dan y urutan yang kedua. Jika (x,y) A xB maka p(x,y) merupakan fungsi pernyataan yang bernilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak keduanya. Dan p(x,y) ini juga merupakan kalimat tebuka dengan dua perubah.

Contoh :

Misalnya himpuna A = { pria }, himpunan B = { wanita } dan p(x,y) = “x suami y”

Maka p(Yohanes, Aminah) merupakan pasangan pria dan wanita yang mempunyai nilai kebenaran berdasarkan kenyataan yang ada (realitas).

Pengertian Relasi

Berdasarkan pengertian uraian di atas dan dari contoh, maka jika p(a,b) bernilai benar dikatakan bahwa “a berelasi dengan b” dan dinyatakan sebagai a R b. Sebaliknya jika p(a,b) bernilai tidak benar (salah) dikatakan bahwa “a tidak berelasi dengan b” dan dinyatakan sebagai aR b Dengan demikian suatu relasi R membutuhkan adanya suatu fungsi pernyataan p(a,b) yang mendefinisikan suatu relasi dari A ke B.

Ada penulis yang menyebut fungsi pernyataan p(x,y) sebagai relasi.

Definisi

Jika A dan B adalah dua himpunan sembarang, maka suatu relasi R dari A ke B adalah sembarang subset dari A x B, termasuk himpunan kosong. Yaitu R Í A x B. Relasi R ini dinyatakan sebagai :

R = { (a,b) / a berelasi dengan b }

= { (a b) / a R b }

Relasi R dari himpunan A ke himpunan B juga dikatakan sebagai Relasi binair yaitu suatu cara untuk menentukan pasangan (a,b) dalam A x B, sehingga dikatakan “a berelasi dengan b” ditulis a R b atau (a,b) Î R . Jika dikatakan “a tidak berelasi dengan b” ditulis aR b atau (a,b) Ï R. Relasi dari himpunan A ke himpunan A (ke dirinya sendiri) disebut relasi pada A atau a R a.

 

Relasi R dikatakan “determinatif” pada A jika untuk setiap a dan b berada dalam A. Misalkan A = himpunan bilangan-bilangan alam, maka relasi “kelipatan” adalah relasi yang determinatif. Sedangkan relasi “mencintai” adalah tidak determinatif, sebab pernyataan “9 mencintai 3” tidak bernilai benar atau bernilai salah. Dalam hal ini yang dibicarakan adalah relasi-relasi yang determinatif saja.

Suatu relasi juga didefinisikan antara anggota-anggota diberlainan himpunan. Misalkan R suatu relasi dari A ke B. Jadi R adalah himpunan pasagan- pasangan elemen-elemen (a,b) dimana a  A dan bB, dan R merupakan himpunan bagian dari A x B.

Domain (daerah asal) dari relasi R adalah himpunan dari semua elemen-elemen pertama dalam pasangan-pasangan terurut didalam R, yaitu :

D = { a / a A, (a, b) R }

Jangkauan/range dari relasi R terdiri atas semua elemen-elemen kedua yang muncul dalam pasangan-pasangan terurut dalam R, yaitu

E = { b / bB, (a, b)  R }

Jadi domain suatu relasi dari A ke B ditulis D , merupakan himpunan bagian dari A yaitu D Í Adan jangkauan dari R ditulis E adalah himpunan bagian dari B, yaitu E Í B.

 

Contoh :

Diketahui :  A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c} .

Maka R = {(2, a), (3, c), (4, a)} adalah suatu relasi.

Latihan :

1. Selesaikan soal berikut ini 4x2 + 9y2 = 36

Relasi R ditunjukkan pada diagram koordinat R # x R # dibawah ini :

 

Penyelesaian :

R#  adalah himpunan semua bilangan-bilangan riil. Domain dari R adalah selang tertutup [-3, 3] dan jangkauan dari R adalah selang tertutup [-2, 2].

                  Untuk setiap pasangan dua himpunan A dan himpunan B, selalu berlaku A Í B atau A Ë B atau sebaliknya.

                  Perkawinan merupakan suatu relasi dari himpunan Pria (=P) ke himpunan wanita (=W) dalam semesta himpunan orang-orang. Jika ada seorang pria P makaberlaku bahwa P telah menikah dengan W atau P tidak menikah dengan W.

                  Kalimat “x lebih kecil dari y” ditulis x < y adalah suatu relasi pada himpunan bilangan-bilangan riil. Jika diberikan pasangan terurut (x,y) maka selalu berlaku x < y atau x </ y atau juga sebaliknya.

                  Misalkan R suatu relasi dari A = {1, 2, 3} ke B = {a, b} dengan R = {(1, a), (1, b),(3,a)}, maka 1Ra, 2b, 3Ra dan 3b

Relasi R dapat ditunjukkan dengan diagram koordinat A x B berikut ini :

 

A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

R Í A x B

R = {(1, a), (1, b), (3, a)}

               Ambil himpunan A = {1, 2, 3} seperti di atas. Relasi R pada A adalah himpunan semua pasangan dalam A x A. Disini R = A x A.

Relasi Invert

Misalkan R suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R ditulis adalah suatu relasi dari himpunan B ke himpunan A, sedemikian hingga tiap pasangan terurut pada  jika urutan anggota-anggotanya dibalik merupakan anggota dari R.

Jadi = {(b,a) / (a,b) Î R}

Contoh :

Relasi R pada A = {1, 2, 3} didefinisikan sebagai R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)},

maka  = {(2, 1), (3, 1), (3, 2)}

Representasi Relasi

            Suatu relasi dapat presentasikan  dalam berbagai cara, diantaranya melalui grafik pada bidang XOY, tabel, melalui matriks dan melalui graf.

 

 Penyajian dalam bentuk grafik

Misal R suatu relasi dari A ke B. Himpunan A digambarkan pada sumbu mendatar X dan himpunan B digambarkan pada sumbu tegak y yang memotong sumbu x di titik 0. Setiap pasangan terurut di A x B dinyatakan oleh satu titik pada bidang XOY. Dengan demikian R adalah himpunan titik-titik (a,b) pada bidang XOY dimana (a,b) R.

Latihan :

1. Relasi R dari A = {a, b, c, d, e} ke B = {1, 2, 4} didefinisikan sebagai

berikut: R = {(a,1),(a,4),(b,2),(c,2),(c,4),(d,1)}.

 

Jawab:

Grafik R dinyatakan oleh titik-titik hitam pada grafik di atas.

2. Relasi R1 , R2 dan R3 pada himpunan bilangan-bilangan riel R diberikan oleh: 2 2

a). R1 = {(x,y) /  +y0}

b). R2 = {(x,y) /+ 1}

c). R3 = {(x,y) / +16}

Jawab:

a). Grafik R1 daerah yang diarsir adalah :      

 

b). Grafik R2, daerah yang diarsir adalah :

 

c). Grafik R3 daerah yang diarsir adalah sebagai berikut :

 

Fungsi Invers 

Defenisi : Jika y = f(x) dan x = g(y) maka dikatakan g invers dari f, dan sebaliknya. Invers dari f (x) di tulis f ^-1(x). Jika f(x) o g(x) = 1, maka f ^-1(x) = g(x) dan g ^-1(x) = f(x)
RUMUS MASTER FUNGSI INVERS


KOMPOSISI FUNGSI
Defenisi : Suatu Fungsi f dengan daerah asal D_f dan daerah hasil R_f dan fungsi g dengan daerah asal Dg dan daerah hasil Rg untuk “f komposisi g” dilambangkan f o g = {(x,y) | x ε D_g, y ε R_f dan y = f(g(x))} dimana D_g ∩ R_f ≠ Ø .
Contoh :
f(x) = 2x + 5 dan g(x) = x² – 1,  maka
f o g (x) = 2 (x² – 1) + 5 = 2x² – 2 + 5 = 2x² + 3
g o f (x) = (2x+5)² – 1 = 4x² + 20x + 25 – 1 = 4x² + 20x + 24
Kata kunci :
#  f o g (x) artinya untuk setiap variable fungsi f disubtitusikan dengan fungsi g(x)
#  g o f (x) artinya untuk setiap variable fungsi g disubtitusikan dengan fungsi f(x)
Beberapa hal penting :
# (f o g)(x) = h(x) maka f(x) = (h^-1 o g)(x) dan g(x) = (f ^-1 o h)(x)
# (f o g)^-1 = g ^-1 o f ^-1
# (f o g o h) ^-1 = h^-1 o g^-1 o f ^-1

RUMUS MASTER FUNGSI KOMPOSISI


TRIK MASTER UNTUK MENENTUKAN GRAFIK YANG MEMILIKI INVERS
Ciri Grafik yang mempunyai invers
Jika dapat dibuat garis mendatar hanya memotong disatu titik (untuk satu nilai y hanya menghasilkan nilai x ). Perhatikan gambar berikut :

Gambar (1) tidak memiliki invers karena dapat dibuat sebuah garis mendatar dan memotong kurva pada lebih dari satu titik.
Gambar (2) memiliki invers karena garis mendatar yang dibuat hanya memotong disatu titik.

Latihan :

1. Suatu fungsi dirumuskan f(x) = 9 - 3x. Jika f(p) = 15, nilai p adalah... ?
A. -8
B. -2
C. 2
D. 8

jwb :

f(x) = 9 - 3x
dari soal diatas kita cuma diperintahkan untuk mensubstitusikan p ke dalam x, sehingga :
f(x) = 9 - 3x
f(p) = 9 - 3p
karena f(p) = 15, maka kita substitusikan 15 ke dalam f(p).
f(p) = 9 - 3p
15 = 9 - 3p
15 - 15 = 9 - 3p -15
0 = 9 - 15 - 3p
0 + 3p = 9 - 15 - 3p + 3p
3p = - 6 + 0
p = -6 / 3
p = -2.
jadi nilai p adalah -2.

Sumber

http://sulistiawan03.blogspot.com/ 

http://matematika.mwb.im/