Sebelum
membahas tentang relasi, kita ingatkan kembali tentang pergandaan himpunan yang
di definisikan sebagai : AxB= {(x,y) /x
A
yB}
AyB}
Jadi
himpunan A xB mempunyai anggota semua pasangan terurut (x,y) dengan x sebagai
urutan pertama dan y urutan yang kedua. Jika (x,y) 
A xB maka p(x,y) merupakan
fungsi pernyataan yang bernilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak
keduanya. Dan p(x,y) ini juga merupakan kalimat tebuka dengan dua
perubah.
A xB maka p(x,y) merupakan
fungsi pernyataan yang bernilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak
keduanya. Dan p(x,y) ini juga merupakan kalimat tebuka dengan dua
perubah.
Contoh :
Misalnya
himpuna A = { pria }, himpunan B = { wanita } dan p(x,y) = “x suami y”
Maka p(Yohanes,
Aminah) merupakan pasangan pria dan wanita yang mempunyai nilai kebenaran
berdasarkan kenyataan yang ada (realitas).
Pengertian
Relasi
Berdasarkan
pengertian uraian di atas dan dari contoh, maka jika p(a,b) bernilai
benar dikatakan bahwa “a berelasi dengan b” dan dinyatakan sebagai a R b.
Sebaliknya jika p(a,b) bernilai tidak benar (salah) dikatakan bahwa “a
tidak berelasi dengan b” dan dinyatakan sebagai aR b Dengan demikian suatu
relasi R membutuhkan adanya suatu fungsi pernyataan p(a,b) yang
mendefinisikan suatu relasi dari A ke B.
Ada penulis yang
menyebut fungsi pernyataan p(x,y) sebagai relasi.
Definisi
Jika A dan B
adalah dua himpunan sembarang, maka suatu relasi R dari A ke B adalah sembarang
subset dari A x B, termasuk himpunan kosong. Yaitu R Í A x B.
Relasi R ini dinyatakan sebagai :
R =
{ (a,b) / a berelasi dengan b }
= { (a b) / a
R b }
Relasi
R dari himpunan A ke himpunan B juga dikatakan sebagai
Relasi binair yaitu suatu cara untuk menentukan pasangan (a,b) dalam A
x B, sehingga dikatakan “a berelasi dengan b” ditulis a
R b atau (a,b) Î R . Jika dikatakan “a tidak berelasi dengan b”
ditulis aR b atau (a,b) Ï R. Relasi dari himpunan A ke himpunan A
(ke dirinya sendiri) disebut relasi pada A atau a R a.
Relasi
R dikatakan “determinatif” pada A jika untuk setiap a dan
b berada dalam A. Misalkan A = himpunan bilangan-bilangan
alam, maka relasi “kelipatan” adalah relasi yang determinatif. Sedangkan
relasi “mencintai” adalah tidak determinatif, sebab pernyataan “9 mencintai
3” tidak bernilai benar atau bernilai salah. Dalam hal ini yang dibicarakan
adalah relasi-relasi yang determinatif saja.
Suatu
relasi juga didefinisikan antara anggota-anggota diberlainan himpunan. Misalkan
R suatu relasi dari A ke B. Jadi R adalah himpunan
pasagan- pasangan elemen-elemen (a,b) dimana a A dan bB,
dan R merupakan himpunan bagian dari A x B.
A dan bB,
dan R merupakan himpunan bagian dari A x B.
Domain
(daerah asal) dari relasi R adalah himpunan dari semua elemen-elemen pertama
dalam pasangan-pasangan terurut didalam R, yaitu :
D
=
{ a / a A,
(a, b) R }
A,
(a, b) R }
Jangkauan/range
dari relasi R terdiri atas semua elemen-elemen kedua yang muncul dalam
pasangan-pasangan terurut dalam R, yaitu
E
=
{ b / bB,
(a, b) R }
B,
(a, b) R }
Jadi
domain suatu relasi dari A ke B ditulis D , merupakan himpunan bagian dari
A yaitu D Í Adan jangkauan dari R ditulis E adalah himpunan
bagian dari B, yaitu E Í B.
Contoh :
Diketahui
: A = {1, 2, 3, 4}, B = {a,
b, c} .
Maka
R = {(2, a), (3, c), (4, a)} adalah suatu relasi.
Latihan :
1. Selesaikan soal berikut ini 4x2
+ 9y2 = 36
Relasi R ditunjukkan pada diagram koordinat R
# x R # dibawah ini :
Penyelesaian :
R# adalah himpunan semua bilangan-bilangan riil.
Domain dari R adalah selang tertutup [-3, 3] dan jangkauan dari R adalah
selang tertutup [-2, 2].
Untuk setiap pasangan dua himpunan A dan
himpunan B, selalu berlaku A Í B atau A Ë B atau
sebaliknya.
Perkawinan merupakan suatu relasi dari
himpunan Pria (=P) ke himpunan wanita (=W) dalam semesta himpunan orang-orang.
Jika ada seorang pria P makaberlaku bahwa P telah menikah dengan W atau P tidak
menikah dengan W.
Kalimat “x lebih kecil dari y”
ditulis x < y adalah suatu relasi pada himpunan
bilangan-bilangan riil. Jika diberikan pasangan terurut (x,y) maka
selalu berlaku x < y atau x </ y atau juga
sebaliknya.
Misalkan R suatu relasi dari A
= {1, 2, 3} ke B = {a, b} dengan R = {(1, a),
(1, b),(3,a)}, maka 1Ra, 2 b, 3Ra dan 3b
Relasi R dapat
ditunjukkan dengan diagram koordinat A x B berikut ini :
A
x
B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a),
(3, b)}
R
Í
A x B
R
=
{(1, a), (1, b), (3, a)}
Ambil himpunan A = {1, 2, 3}
seperti di atas. Relasi R pada A adalah himpunan semua pasangan
dalam A x A. Disini R = A x A.
Relasi Invert
Misalkan
R suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R
ditulis
 adalah suatu relasi
dari himpunan B ke himpunan A, sedemikian hingga tiap pasangan
terurut pada  jika urutan anggota-anggotanya dibalik
merupakan anggota dari R.
Jadi
= {(b,a) / (a,b)
Î R}
Contoh :
Relasi
R pada A = {1, 2, 3} didefinisikan sebagai R = {(1, 2),
(1, 3), (2, 3)},
maka
= {(2, 1), (3, 1), (3, 2)}
Representasi
Relasi
Suatu relasi dapat presentasikan dalam berbagai cara, diantaranya melalui grafik
pada bidang XOY, tabel, melalui matriks dan melalui graf.
Penyajian dalam bentuk grafik
Misal
R suatu relasi dari A ke B. Himpunan A digambarkan pada sumbu mendatar X dan himpunan
B digambarkan pada sumbu tegak y yang memotong sumbu x di titik 0. Setiap pasangan
terurut di A x B dinyatakan oleh satu titik pada bidang XOY. Dengan demikian R
adalah himpunan titik-titik (a,b) pada bidang XOY dimana (a,b)
 R.
Latihan :
1. Relasi R dari A
= {a, b, c, d, e} ke B = {1, 2, 4} didefinisikan sebagai
berikut: R = {(a,1),(a,4),(b,2),(c,2),(c,4),(d,1)}.
Jawab:
Grafik R
dinyatakan oleh titik-titik hitam pada grafik di atas.
2. Relasi R1
, R2
dan R3
pada himpunan bilangan-bilangan riel R diberikan oleh: 2 2
a). R1
= {(x,y) /
+y0}
b). R2
= {(x,y) /
+ 1}
c). R3
= {(x,y) /
 + 16}
Jawab:
a). Grafik R1 daerah yang diarsir adalah :
b). Grafik R2, daerah yang diarsir adalah :
c). Grafik R3
daerah yang diarsir adalah sebagai berikut :
Fungsi Invers
Defenisi : Jika y = f(x) dan x = g(y) maka dikatakan g invers dari f, dan sebaliknya. Invers dari f (x) di tulis f -1(x). Jika f(x) o g(x) = 1, maka f -1(x) = g(x) dan g -1(x) = f(x) RUMUS MASTER FUNGSI INVERS  KOMPOSISI FUNGSI Defenisi : Suatu Fungsi f dengan daerah asal Df dan daerah hasil Rf dan fungsi g dengan daerah asal Dg dan daerah hasil Rg untuk “f komposisi g” dilambangkan f o g = {(x,y) | x ε Dg, y ε Rf dan y = f(g(x))} dimana Dg ∩ Rf ≠ Ø . Contoh : f(x) = 2x + 5 dan g(x) = x2 – 1, maka f o g (x) = 2 (x2 – 1) + 5 = 2x2 – 2 + 5 = 2x2 + 3 g o f (x) = (2x+5)2 – 1 = 4x2 + 20x + 25 – 1 = 4x2 + 20x + 24 Kata kunci : # f o g (x) artinya untuk setiap variable fungsi f disubtitusikan dengan fungsi g(x) # g o f (x) artinya untuk setiap variable fungsi g disubtitusikan dengan fungsi f(x) Beberapa hal penting : # (f o g)(x) = h(x) maka f(x) = (h-1 o g)(x) dan g(x) = (f -1 o h)(x) # (f o g)-1 = g -1 o f -1 # (f o g o h) -1 = h-1 o g-1 o f -1 RUMUS MASTER FUNGSI KOMPOSISI  TRIK MASTER UNTUK MENENTUKAN GRAFIK YANG MEMILIKI INVERS Ciri Grafik yang mempunyai invers Jika dapat dibuat garis mendatar hanya memotong disatu titik (untuk satu nilai y hanya menghasilkan nilai x ). Perhatikan gambar berikut :  Gambar (1) tidak memiliki invers karena dapat dibuat sebuah garis mendatar dan memotong kurva pada lebih dari satu titik. Gambar (2) memiliki invers karena garis mendatar yang dibuat hanya memotong disatu titik.
Latihan :
1. Suatu fungsi dirumuskan f(x) = 9 - 3x. Jika f(p) = 15, nilai p adalah... ?
A. -8 B. -2 C. 2 D. 8 jwb : f(x) = 9 - 3x dari soal diatas kita cuma diperintahkan untuk mensubstitusikan p ke dalam x, sehingga : f(x) = 9 - 3x f(p) = 9 - 3p karena f(p) = 15, maka kita substitusikan 15 ke dalam f(p). f(p) = 9 - 3p 15 = 9 - 3p 15 - 15 = 9 - 3p -15 0 = 9 - 15 - 3p 0 + 3p = 9 - 15 - 3p + 3p 3p = - 6 + 0 p = -6 / 3 p = -2. jadi nilai p adalah -2.
Sumber
http://sulistiawan03.blogspot.com/
http://matematika.mwb.im/
|
Tidak ada komentar:
Posting Komentar