LOGIKA MATEMATIKA

PERNYATAAN, NEGASI, IMPLIKASI, TANTOLOGI dan KONTRADIKSI

A. Pernyataan

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak semuanya benar atau salah.

B. Ingkaran Pernyataan

Ingkaran pernyataan adalah kalimat yang menyangkal kalimat pernyataan.

Tabel kebenaran

P	~P
B S	S B

Contoh:

P = Matematika adalah pelajaran yang mudah.

~P = Tidak benar matematika adalah pelajaran yang mudah.

C. Hubungan Pernyataan

1. Konjungsi (Notasi: p ^ q)

Konjungsi adalah gabungan dari dua pernyataan yang dihubungkan dengan "dan" sehingga membentuk pernyataan majemuk.

2. Disjungsi (Notasi: p v q)

Disjungsi adalah gabungan dari dua pernyataan yang dihubungkan dengan "atau" sehingga membentuk penyataan majemuk.

3. Implikasi (Notasi: p --> q)

Implikasi adalah gabungan dari dua pernyataan yang dihubungkan dengan "jika p maka q" sehingga membentuk pernyataan majemuk.

4. Biimplikasi (Notasi: p <--> q)

Biimplikasi adalah gabungan dari dua pernyataan yang dihubungkan dengan "p terjadi jika dan hanya q terjadi" sehingga membentuk pernyataan majemuk.

5. Negasi atau Ingkaran 

Ingkaran suatu pernyataan adalah suatu pernyataan baru yang disusun dari pernyataan semula sehingga nilai kebenarannya berlawanan dengan nilai kebenaran pernyataan semula. Jika p adalah suatu pernyataan yang bernilai benar maka ingkarannya bernilai salah. Ingkaran dari pernyataan p ditulis (-p) dibaca ingkaran p atau negasi p.

Perhatikan contoh berikut : 

1.   p : 17 adalah bilangan prima. (B) 

     -p : 17 adalah bukan bilangan prima. (S) 

2.   p : 6 + 5 = 11. (B) 

     -p : 6 + 5 ≠ 11. (S)

3.   p : Ada bulan yang jumlah harinya 31 hari. (B) 

     -p :Tidak benar bahwa ada bulan yang jumlah harinya 31 hari. (S)

TAUTOLOGI

Adalah suatu ekspresi logika yang selalu bernilai benar di dalam tabel kebenarannya, tanpa memperdulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada didalamnya.

Contoh :

 

1. Lihat ekspresi logika dari suatu pernyataan berikut :

(A ^ B)→(C v (¬B→¬C))

Buatlah Tabel Kebenarannya

C v (¬B→¬C)

(A ^ B) → (C v (¬B → ¬C))

A	B	C	¬B	¬C	A^B	¬B→¬C
F	F	F	T	T	F	T	T	T
F	F	T	T	F	F	F	T	T
F	T	F	F	T	F	T	T	T
F	T	T	F	F	F	T	T	T
T	F	F	T	T	F	T	T	T
T	F	T	T	F	F	F	T	T
T	T	F	F	T	T	T	T	T
T	T	T	F	F	T	T	T	T

Jadi ekspresi logika diatas adalah tautology karena pada table kebenarannya semua pasangannya menghasilkan nilai T.

2. Buktikan : ¬(A ^ B ) v B adalah tautologi ?

Bukti : Buat Tabel Kebenarannya seperti berikut :

A	B	A ^ B	¬(A ^ B)	¬(A ^ B) v B
F	F	F	T	T
F	T	F	T	T
T	F	F	T	T
T	T	T	F	T

Jadi, ekspresi diatas juga Tautologi

 

3. Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kuliah.

Jawab :

Diubah ke variabel proposisional :

A = Tono pergi kuliah

B = Tini pergi kuliah

C = Siska tidur

Diubah menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpulan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan logika 3 adalah kesimpulan.

1.      A → B                              (premis)

2.      C → B                               (premis)

3.      (A v C)→B                       (kesimpulan)

Selanjutnya, dapat ditulis berikut : 

((A → B) ^ (C → B)) → ((A v C) → B) 

Setelah itu, buatlah tabel kebenarannya dari ekspresi logika tersebut : 

((A → B) ^ (C → B)) → ((A v C) → B)

A	B	C	A→B	C→B	(A→B)^(C→B)	AvC	(AvC)→B
F	F	F	T	T	T	F	T	T
F	F	T	T	F	F	T	F	T
F	T	F	T	T	T	F	T	T
F	T	T	T	T	T	T	T	T
T	F	F	F	T	F	T	F	T
T	F	T	F	F	F	T	F	T
T	T	F	T	T	T	T	T	T
T	T	T	T	T	T	T	T	T

KONTRADIKSI 

Adalah Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memperdulikan nilai kebenarannya dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya.

Contoh :

Lihat ekspresi logika dari suatu pernyataan berikut :

((A v B) ^ ¬A) ^ ¬B

Buatlah Tabel Kebenarannya :

 ((A v B) ^ ¬A) ^ ¬B

A	B	¬A	¬B	(A v B)	((A v B) ^ ¬A)
F	F	T	T	F	F
F	T	T	F	T	T
T	F	F	T	T	F
T	T	F	F	T	F

Jadi, ekspresi logika di atas terjadi kontradiksi.

 Tabel Kebenaran

p	q	Konjungsi	Disjungsi	Implikasi	Biimplikasi
B B S S	B S B S	B S S S	B B B S	B S B B	B S S B

  

Latihan Soal

1. Tentukan manakah yang merupakan pernyataan dan bukan pernyataan !!! 

1. Matahari terbenam di sebelah Barat.  

2. 1+2=3

3. Wanita itu sangat rajin bekerja. 

4. Siapa orang itu? 

5. Bagaimana kabarmu?

Penyelesaian: 

Yang merupakan pernyataan adalah no.1 dan 2. Sedangkan no.3,4,5 bukan pernyataan. No.4 dan 5 adalah pertanyaan.

2. Tentukan negasi dari pernyataan berikut !!!

1.    p : 2 adalah bilangan genap. (B) 

2.    p : Matahari terbit dari sebelah timur. 

3.    p : Satu tahun ada 12 bulan. (B)

Penyelesaian: 

1.    –p : 2 adalah bukan bilangan genap. (S) 

2.    –p : Matahari tidak terbit dari sebelah timur. (S)

3.    –p : Tidak benar bahwa satu tahun ada 12 bulan. (S) 

3. Tentukan implikasi dari pernyataan berikut !!! 

1.    p : Hari ini adalah Minggu. 

       q : Besok hari Senin. 

2.    p : 3+3=6. 

       q : 6 adalah bilangan genap. 

3.    p : Kelipatan 2 adalah bilangan genap. 

       q : 12 adalah kelipatan 2. 

Penyelesaian : 

1.    p q : Jika hari ini adalah minggu maka besok hari Senin. 

2.    p q : Jika 3+3=6 maka 6 adalah bilangan genap. 

3.    p q : Jika kelipatan 2 adalah bilangan genap maka 12 adalah kelipatan 2.

Referensi : http://sabilaamalia.blogspot.com/